2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组Ax=(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解 k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T． (Ⅰ)求方程组(α1，α2，α3)x=α5的通解； (Ⅱ)求方程组(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α1的

设非齐次线性方程组Ax=(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解 k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T． (Ⅰ)求方程组(α1，α2，α3)x=α5的通解； (Ⅱ)求方程组(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α1的

admin2016-05-03  43
问题 设非齐次线性方程组Ax=(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解
    k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T．
    (Ⅰ)求方程组(α1，α2，α3)x=α5的通解；
    (Ⅱ)求方程组(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α1的通解．
选项
答案(Ⅰ)由题设，非齐次线性方程组 (α1，α2，α3，α4)x=α5 有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T，则 r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=3． 且由对应齐次方程组的通解知，一α1+2α2+3α4=0，即α1=2α2+3α4，故α2，α3，α4线性无关(若线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)＜3，这和题设矛盾)．α2，α3，α4是α1，α2，α3，α4及α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组，α1，α5均可由α2，α3，α4线性表示，从而 r(α2，α3，α4)=r(α2，α3，α4，α5)=3， 方程组 (α2，α3，α4)x=α5 (*) 有唯一解．由题设条件，α5可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示法不唯一，k可任取，取k=2，使α5由α1，α2，α3，α4线性表示时，不出现α5，则得 α5=α2+α3+11α4， 故方程组(*)的通解(唯一解)为x=(1，1，11)T． (Ⅱ)非齐次线性方程组(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α5， (**) 显然有 r(α1，α2，α3，α4，α4+α5)=r(α1，α2，α3，α4，α4+α5，α5)=3， 故方程组(**)的通解的结构为k1ξ1+k2ξ2+η． [*] 其中k1，k2是任意常数．
解析
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考研数学三

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