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设非齐次线性方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解 k(一1,2,0,3)T+(2,一3,1,5)T. (Ⅰ)求方程组(α1,α2,α3)x=α5的通解; (Ⅱ)求方程组(α1,α2,α3,α4,α4+α5)x=α1的
设非齐次线性方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解 k(一1,2,0,3)T+(2,一3,1,5)T. (Ⅰ)求方程组(α1,α2,α3)x=α5的通解; (Ⅱ)求方程组(α1,α2,α3,α4,α4+α5)x=α1的
admin
2016-05-03
43
问题
设非齐次线性方程组Ax=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
有通解
k(一1,2,0,3)
T
+(2,一3,1,5)
T
.
(Ⅰ)求方程组(α
1
,α
2
,α
3
)x=α
5
的通解;
(Ⅱ)求方程组(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
)x=α
1
的通解.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,非齐次线性方程组 (α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
有通解k(一1,2,0,3)
T
+(2,一3,1,5)
T
,则 r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)=3. 且由对应齐次方程组的通解知,一α
1
+2α
2
+3α
4
=0,即α
1
=2α
2
+3α
4
,故α
2
,α
3
,α
4
线性无关(若线性相关,则r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)<3,这和题设矛盾).α
2
,α
3
,α
4
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
及α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
的极大线性无关组,α
1
,α
5
均可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示,从而 r(α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)=3, 方程组 (α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
(*) 有唯一解.由题设条件,α
5
可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表示法不唯一,k可任取,取k=2,使α
5
由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示时,不出现α
5
,则得 α
5
=α
2
+α
3
+11α
4
, 故方程组(*)的通解(唯一解)为x=(1,1,11)
T
. (Ⅱ)非齐次线性方程组(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
)x=α
5
, (**) 显然有 r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
,α
5
)=3, 故方程组(**)的通解的结构为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+η. [*] 其中k
1
,k
2
是任意常数.
解析
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0
考研数学三
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