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(03年)设函数y=y(x)在(一∞.+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.
(03年)设函数y=y(x)在(一∞.+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.
admin
2021-01-19
96
问题
(03年)设函数y=y(x)在(一∞.+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程;
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=
的解.
选项
答案
由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] y"—y=sinx 该方程对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
设方程y”-y=sinx的特解为[*]=Acosx+Bsinx.代入该方程得 [*] 从而y"一y=sinx的通解为 y(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一[*] 由y(0)=0,y’(0)=[*]得C
1
=1.C
2
=一1 故 y(x)=e
x
一e
-x
一[*]
解析
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0
考研数学二
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