(13年)设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2=-n(n一1)an=0(n≥2)，S(x)是幂级数的和函数． (Ⅰ)证明：S"(x)一S(x)=0； (Ⅱ)求S(x)的表达式．

admin2017-04-20 117

问题 (13年)设数列{a_n}满足条件：a₀=3，a₁=1，a_n-2=-n(n一1)a_n=0(n≥2)，S(x)是幂级数

的和函数．
(Ⅰ)证明：S"(x)一S(x)=0；
(Ⅱ)求S(x)的表达式．

选项

答案(I)由题设得[*]的收敛半径为+∞． [*] 由于a_n-2一n(n一1)a_n=0，所以 [*] 故S"(x)一S(x)=0． (Ⅱ)齐次微分方程S"(x)一S(x)=0的特征根为1和一1，通解为 S(x)=C₁e^x+C₂e^-x．由S(0)=a₀=3，S’(0)=a₁=1得C₁=2，C₂

解析

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考研数学一

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