首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ).
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ).
admin
2017-07-26
42
问题
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得
∫
0
ξ
f(x)dx=(1一ξ)f(ξ).
选项
答案
变量可分离的微分方程得F(x)=[*],即(1一x)F(x)=c. 作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x),用洛尔定理证明. 证 令 φ(x)=(1一x)F(x)=∫
0
x
f(t)dt—x∫
0
x
f(t)dt, 则φ(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且φ(0)=φ(1)=0. 由洛尔定理,存在点ξ∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,即 f(ξ)一∫
0
ξ
f(t)dt一ξf(ξ)=0, 故有∫
0
ξ
f(t)dt=(1一ξ)f(ξ). 用反证法证明唯一性. 假若在(0,1)内存在点ξ
1
、ξ
2
,不妨设ξ
1
<ξ
2
,使得 [*] =(1一ξ
2
)[f(ξ
2
)一f(ξ
1
)]一(ξ
2
一ξ
1
)f(ξ
1
). 由已知条件可知,上式的左边大于零,而右边小于零矛盾,故点ξ是唯一的.
解析
记F(x)=∫
0
x
f(t)dt,欲证存在点ξ,使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)
F(x)=(1一x)F’(x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cuH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
[*]
设x轴正向到方向l的转角为ψ,求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿方向z的方向导数,并分别确定转角ψ,使得方向导数有(1)最大值,(2)最小值,(3)等于0.
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是().
设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数fˊ(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少,f(0)=0.试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a+b)≤f(a)+f(b),其中常数,a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.
设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵A=(α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3).如果丨A丨=1,那么丨B丨=__________.
设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是
设函数f(r)当r>0时具有二阶连续导数,令,则当x,y,z与t不全为零时=
求∫x2arctanxdx.
设f(x)在[0,a](a>0)上非负、二阶可导,且f(0)=0,f"(x)>0,()为y=f(x),y=0,x=a围成区域的形心,证明:.
随机试题
形成“脐”状菌落的细菌是()
A.高锰酸钾B.石油醚C.氯化钾D.氰化钾E.氢氧化钠属于易爆的危险品是()。
依据标准的内容,我国现行的安全生产标准可以分为()等。
垂直于水流方向的围堰为()。
甲公司发生的下列交易中,不属于非货币性交易的是( )。
高速行驶的汽车突然刹车,坐在汽车里的人会向前倾。下列与之类似的现象是:
TheAmericans______GeorgeWashingtonasthefatheroftheircountry.
毛泽东在《(共产党人)发刊词》中所说的“伟大的工程”是指()
极限=().
A.Whatexactlyisscience?B.Howdoyoufindanexplanation?C.Whattopicsdoyouneed?D.Howdoyouansweryourchild’squestio
最新回复
(
0
)