2. 考研
  3. 设矩阵A=，且∣A∣=一l，又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T．求a,b,c和λ0的值．

设矩阵A=，且∣A∣=一l，又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T．求a,b,c和λ0的值．

admin2021-01-19  58
问题 设矩阵A=，且∣A∣=一l，又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T．求a,b,c和λ0的值．
选项
答案(1)由A求出A*，再通过A*求解是行不通的．应利用AA*=∣A∣E，把A*α=λ0α转化为λ0Aα=一α．这是求解本例的关键．(2)如由Aα=λα得到的方程个数小于待定常数个数，再利用其他条件(例如本例∣A∣=一1)求之． 设与A*的一个特征值λ0相对应的A的特征值为λ，则∣A∣／λ=λ0,即λ=∣A∣／λ0, 因为A*的属于λ0的特征向量为α，故A的属于λ的特征向量也为α．于是有 Aα=λα=(∣A∣／λ0)α， 即 λ0Aα=一α(因∣A∣=一1)． ① 由 [*] 由式②一式④得λ0=1．将λ0代入式②、式③得b=一3，a=c． 再由∣A∣=一l和a=c，有[*]=a一3=一1，所以a=c=2．
解析
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考研数学二

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