η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1…,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明: η*,ξ1,…,ξn-r线性无关;

admin2016-03-05  37

问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1…,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明:
η*,ξ1,…,ξn-r线性无关;

选项

答案假设η*,ξ1,…,ξn-r线性相关,则存在不全为零的数c0,c1,…,cn-r使得下式成立c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0 (1) 用矩阵A左乘上式两边,得0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r)=c0*+c11+…+cn-rn-r=c0b,其中b≠0,则由上式c0=0,于是(1)式变为c1ξ1+…+cn-rξn-r=0,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ1,…,ξn-r线性无关,因此c1=c2=…=cn-r=0,与线性相关矛盾.因此由定义知,η,ξ…,ξ线性无关.

解析
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