设函数f(x)在[0,1]上连续且非负,证明:在(0,1)内存在一点ξ,线ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx.

admin2016-12-16  40

问题 设函数f(x)在[0,1]上连续且非负,证明:在(0,1)内存在一点ξ,线ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx.

选项

答案由题设知,显然F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.且F(0)=0,F(1)=0,则F(x)在 [0,1]上满足罗尔定理的诸条件.由该定理知,存在一点ξ∈[0,1],故F’(ξ)=0,即 F’(ξ)=[x∫x1f(t)dt]’ |x=ξ=∫1x f(t)dt|x=ξ+xf(x)|x=ξ =∫1xf(t)dt+ξf(ξ)=0, 亦即 ξf(ξ)=一∫1xf(t)dt=∫1xf(x)dx. 注意若按照一般辅助函数F(x)的作法,自然想到令F(x)=xf(x)一∫1xf(t)dt,但此时得不到F(x)在[0,1]区间端点处严格异号,因而不能直接使用罗尔定理.

解析 将待证等式改写为xf(x)=f (t)dt,即xf(x)一∫x1f(t)dt=0.亦即xf(x)+∫x1f(t)dt=[x∫x1f(t)dt]’=0,因而作辅助函数F(x)=x∫1xf(t)dt,下只需证明F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件即可.
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