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  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，线ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．

设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，线ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．

admin2016-12-16  60
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，线ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．
选项
答案由题设知，显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．且F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在 [0，1]上满足罗尔定理的诸条件．由该定理知，存在一点ξ∈[0，1]，故F’(ξ)=0，即 F’(ξ)=[x∫x1f(t)dt]’ |x=ξ=∫1x f(t)dt|x=ξ+xf(x)|x=ξ =∫1xf(t)dt+ξf(ξ)=0， 亦即 ξf(ξ)=一∫1xf(t)dt=∫1xf(x)dx． 注意若按照一般辅助函数F(x)的作法，自然想到令F(x)=xf(x)一∫1xf(t)dt，但此时得不到F(x)在[0，1]区间端点处严格异号，因而不能直接使用罗尔定理．
解析 将待证等式改写为xf(x)=f (t)dt，即xf(x)一∫x1f(t)dt=0．亦即xf(x)+∫x1f(t)dt=[x∫x1f(t)dt]’=0，因而作辅助函数F(x)=x∫1xf(t)dt，下只需证明F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件即可．
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考研数学三

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