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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
admin
2019-12-26
7
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
【解法1】对应于λ
1
=λ
2
=1,解齐次线性方程组(E-B)x=0,得基础解系 ξ
1
=(-1,1,0)
T
,ξ
2
=(-2,0,1)
T
; 对应于λ
3
=4,解齐次线性方程组(4E-B)x=0,得基础解系 ξ
3
=(0,1,1)
T
. 令矩阵 [*] 则 [*] 因Q
-1
BQ=Q
-1
C
-1
ACQ=(CQ)
-1
A(CQ),记矩阵 [*] 故P即为所求的可逆矩阵. 【解法2】由题设,有 A(α
1
-α
2
)=α
1
-α
2
,A(2α
1
-α
3
)=2α
1
-α
3
,A(α
2
+α
3
)=4(α
2
+α
3
), 从而α
1
-α
2
,2α
1
-α
3
是A的属于特征值1的两个特征向量,α
2
+α
3
是A的属于特征值4的特征向量.又α
1
-α
2
,aα
1
-α
3
线性无关,从而α
1
-α
2
,2α
1
-α
3
,α
2
+α
3
线性无关,故P=(α
1
-α
2
,2α
1
-α
3
,α
2
+α
3
)为所求的可逆矩阵.
解析
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考研数学三
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