设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．

admin2017-08-31 28

问题设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且

f(x)=一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f^’’(ξ)≥8．

选项

答案因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，[*]f(x)=一1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1，再由费马定理知f^’(c)=0，根据泰勒公式 [*]

解析在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开．

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考研数学一

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