设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且f(x)=一1.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)≥8.

admin2017-08-31  26

问题 设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且f(x)=一1.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)≥8.

选项

答案因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,[*]f(x)=一1,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=一1,再由费马定理知f(c)=0, 根据泰勒公式 [*]

解析 在使用泰勒中值定理时,若已知条件中给出某点的一阶导数,则函数在该点展开;若结论中是关于某点的一阶导数,则在该点展开;若既未给出某点的一阶导数的条件,结论中又不涉及某点的一阶导数,往往函数在区间的中点处展开.
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