设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形的面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积． (2)又设f(x)在(0，1)上可导，且f’(x)

admin2019-03-21 62

问题设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数．
(1)试证存在x₀∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x₀]上以f(x₀)为高的矩形的面积等于在区间[x₀，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积．
(2)又设f(x)在(0，1)上可导，且f’(x)＞

证明(1)中的x₀是唯一的．

选项

答案令φ(x)=一x∫_x¹(t)dt，则φ(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，则存在x₀∈(0，1)，使φ’(x₀)=0，即 x₀f(x₀) 一∫_x0¹f(t)dt=0 又 φ"(x)=xf’(x)+2f(x)＞0，则上式中的x₀是唯一的．

解析

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