设f(x)在x=a处可导，则f’(x)在x=a处不可导的充分必要条件是( )

admin2022-09-14 43

问题设f(x)在x=a处可导，则f^’(x)在x=a处不可导的充分必要条件是( )

选项 A、f(a)0，f^’(a)=0．
B、f(a)=0，f^’(a)≠0．
C、f(a)≠0，f^’(a)=0．
D、f^’(a)≠0，f^’(a)≠0．

答案B

解析若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，若f(a)＞0，则｜f(x)｜=f(x)(当x∈U(a))；若f(a)＜0，则｜f(x)｜=一f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x=a处总可导．若f(a)=0，则

从而知

其中x→a⁺时取“+”，x→a^-时取“一”，所以｜f(x)｜在x=a处可导的充要条件为｜f^’(a)｜=0．即f^’(a)=0．所以当且仅当f(a)0，f^’(a)≠0时｜f(x)｜在x=a处不可导，选B．

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考研数学二

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