设f(x)在x＝a处可导，则｜f｜(x)在x＝a处不可导的充分必要条件是 ( )

admin2020-12-10 67

问题设f(x)在x＝a处可导，则｜f｜(x)在x＝a处不可导的充分必要条件是 ( )

选项 A、f(a)＝0，f^’(a)＝0．
B、f(a)＝0，f^’(a)≠0．
C、f(a)≠0，f^’(a)≠0．
D、f(a)≠0，f^’(a)≠0．

答案B

解析若f(a)≠0，则存在x＝的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，当x∈U(a)时，若f(a)>0，则｜f(x)｜＝f(x)；若f(a)﹤0，则｜f(x)｜＝－f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x＝a处总可导．

其中x→a^﹢时取“﹢”x→a^－时取“－”，所以f(a)＝0时，｜f(x)｜在x＝a处可导的充要条件为
｜f^’(a)｜＝0，即f^’(a)＝a．
所以当且仅当f(a)＝0，f^’(a)≠0时，｜f(x)｜在x＝a处不可导，选(B)．

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