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设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,则必有________。
设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,则必有________。
admin
2015-04-30
44
问题
设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(Ⅰ)A
n
x=0和(Ⅱ)A
n+1
x=0,则必有________。
选项
A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.
答案
A
解析
若α是(Ⅰ)的解,即A
n
α=0,显然A
n+1
α=A(A
n
α)=A0=0,即α必是(Ⅱ)的解.可排除(C)和(D).
若η是(Ⅱ)的解,即A
n+1
η=0.假若η不是(Ⅰ)的解,即A
n
η≠0,那么对于向量组η,Aη,A
2
η,…,A
n
η,一方面这是n+1个n维向量必线性相关;另一方面,若
kη+k
1
Aη+k
2
A
2
η+…+k
n
A
n
η=0,
用A
n
左乘上式,并把A
n+1
η=0,A
n+2
η=0,…,代入,得kA
n
η=0.
由于A
n
η≠0,必有k=0.对
k
1
Aη+k
2
A
2
η+…+k
n
A
n
η=0,用A
n—1
左乘上式可推知k
1
=0.
类似可知k
i
=0(i=2,3,…,,1).于是向量组η,Aη,A
2
η,…,A
n
η线性无关,两者矛盾.所以必有A
n
η=0,即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解.由此可排除(B).故应选A.
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考研数学二
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