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对n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。试证:f在条件x12+x22+…+x=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
对n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。试证:f在条件x12+x22+…+x=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
admin
2021-11-09
77
问题
对n元实二次型f=x
T
Ax，其中x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
。试证:f在条件x
1
2
+x
2
2
+…+x=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
选项
答案
实二次型f=x
T
Ax所对应的矩阵A为实对称矩阵，则存在正交矩阵P使 [*] 其中λ
i
(i=1，2，…，n)是矩阵A的特征值。作线性变换x=Py，其中y=(y
1
，y
2
，…，y
n
)
T
，则 x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
=x
T
x=y
T
(P
T
P)y
T
y=y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
， f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=λ
1
y
2
+λ
2
y
2
+…+λ
n
y
2
。 求f=x
T
Ax在条件x
T
x=1下的最大值可转化为求f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
在条件y
1
2
+ y
2
2
+…+y
n
2
=1下的最大值。设c=max{λ
1
，λ
2
，…，λ
n
}，则 f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
≤c(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
)=c，上式取y=(1，0，…，0)
T
时，等号成立，此时f取到最大值c。故在条件x
T
x=1下f的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
解析
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考研数学二
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