2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0，证明： 在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；

设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0，证明： 在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；

admin2017-12-23  28
问题 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0，证明：
在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；
选项
答案令F(x)=[*]f(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’(c)=0，即f(c)=0． 令h(x)=e-xf(x)，h(c)=h(c)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(a，c)，使得h’(ξ)=0， 由h’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，故f’(ξ)=f(ξ)．
解析
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考研数学二

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