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设f(x)在[a,b]上连续可导,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f(x)dx=0,证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
设f(x)在[a,b]上连续可导,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f(x)dx=0,证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
admin
2017-12-23
35
问题
设f(x)在[a,b]上连续可导,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,
f(x)dx=0,证明:
在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
选项
答案
令F(x)=[*]f(t)dt,F(a)=F(b)=0, 由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得F’(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=e
-x
f(x),h(c)=h(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,c),使得h’(ξ)=0, 由h’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,故f’(ξ)=f(ξ).
解析
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考研数学二
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