函数f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______．

admin2017-10-17 88

问题函数f(x，y)=x²y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______．

选项

答案一64

解析根据题意可知，

得区域D内驻点(2，1)，则有
f_xx"=8y一6xy一2y²；
f_xy"=8x一3x²一4xy；
f_yy"=-2x²．
则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B²=32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．
当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x³一12x²(0≤x≤6)，且

令

．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．
则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．

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