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函数f(x,y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______.
函数f(x,y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______.
admin
2017-10-17
47
问题
函数f(x,y)=x
2
y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______.
选项
答案
一64
解析
根据题意可知,
得区域D内驻点(2,1),则有
f
xx
"=8y一6xy一2y
2
;
f
xy
"=8x一3x
2
一4xy;
f
yy
"=-2x
2
.
则A=一6,B=一4,C=一8,有AC—B
2
=32>0,且A<0.所以,点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点,且f(2,1)=4.
当y=0(0≤x≤6)时,z=0;当x=0(0≤y≤6)时,z=0;当x+y=6(0≤y≤6)时,z=2x
3
一12x
2
(0≤x≤6),且
令
.解得x=4.则y=2,f(4,2)=一64,且f(2,1)=4,f(0,0)=0.
则z=f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=一64.
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考研数学三
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