函数f(x,y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______.

admin2017-10-17  48

问题 函数f(x,y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______.

选项

答案一64

解析 根据题意可知,得区域D内驻点(2,1),则有
    fxx"=8y一6xy一2y2
    fxy"=8x一3x2一4xy;
    fyy"=-2x2
则A=一6,B=一4,C=一8,有AC—B2=32>0,且A<0.所以,点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点,且f(2,1)=4.
当y=0(0≤x≤6)时,z=0;当x=0(0≤y≤6)时,z=0;当x+y=6(0≤y≤6)时,z=2x3一12x2(0≤x≤6),且
.解得x=4.则y=2,f(4,2)=一64,且f(2,1)=4,f(0,0)=0.
则z=f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=一64.
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