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已知向量组 (Ⅰ):α1,α2,α3; (Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4. 证明:向量组(Ⅳ):α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
已知向量组 (Ⅰ):α1,α2,α3; (Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4. 证明:向量组(Ⅳ):α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
admin
2021-01-25
66
问题
已知向量组
(Ⅰ):α
1
,α
2
,α
3
;
(Ⅱ)α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;
(Ⅲ):α
1
,α
2
,α
3
,α
5
.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4.
证明:向量组(Ⅳ):α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
的秩为4.
选项
答案
1 因R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,故存在数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
(*) 设有数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
-α
4
)=0 将(*)式代入上式并化简,得 (k
1
-λ
1
k
4
)α
1
+(k
2
-λ
2
k
4
)α
2
+(k
3
-λ
3
k
4
)α
3
+k
4
α
5
=0,由R(Ⅲ)=4知α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关,所以 [*] 得k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,故α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
线性无关,即其秩为4. 2 同证1可知存在数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
所以有α
5
-α
4
=-λ
1
α
1
-λ
2
α
2
-λ
3
α
3
+α
5
即α
5
-α
4
可由向量组(Ⅲ)线性表示,于是知(Ⅳ)可由(Ⅲ)线性表示.又 α
5
=α
4
+(α
5
-α
4
)=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
+(α
5
-α
4
) 即α
5
可由向量组(Ⅳ)线性表示,于是知(Ⅲ)可由(Ⅳ)线性表示.因此,向量组(Ⅲ)与向量组(Ⅳ)等价,[*]R(Ⅳ)=R(Ⅲ)=4.
解析
本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系.注意1是利用定义证明向量组(Ⅳ)线性无关,其中利用了“若α
1
,…,α
r
线性无关,而α
1
,…,α
r
,β线性相关,则β可由α
1
,…,α
r
线性表示”的结论.
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考研数学三
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