2. 考研
  3. 已知向量组 (Ⅰ)：α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4． 证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

已知向量组 (Ⅰ)：α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4． 证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

admin2021-01-25  65
问题 已知向量组
(Ⅰ)：α1，α2，α3；
(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；
(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．
证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
选项
答案1 因R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使得 α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3 (*) 设有数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5－α4)=0 将(*)式代入上式并化简，得 (k1－λ1k4)α1+(k2－λ2k4)α2+(k3－λ3k4)α3+k4α5=0，由R(Ⅲ)=4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以 [*] 得k1=k2=k3=k4=0，故α1，α2，α3，α5－α4线性无关，即其秩为4． 2 同证1可知存在数λ1，λ2，λ3，使得 α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3 所以有α5－α4=－λ1α1－λ2α2－λ3α3+α5 即α5－α4可由向量组(Ⅲ)线性表示，于是知(Ⅳ)可由(Ⅲ)线性表示．又 α5=α4+(α5－α4)=λ1α1+λ2α2+λ3α3+(α5－α4) 即α5可由向量组(Ⅳ)线性表示，于是知(Ⅲ)可由(Ⅳ)线性表示．因此，向量组(Ⅲ)与向量组(Ⅳ)等价，[*]R(Ⅳ)=R(Ⅲ)=4．
解析 本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系．注意1是利用定义证明向量组(Ⅳ)线性无关，其中利用了“若α1，…，αr线性无关，而α1，…，αr，β线性相关，则β可由α1，…，αr线性表示”的结论．
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考研数学三

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