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f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,f(1)>0,<0,证明: 方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,f(1)>0,<0,证明: 方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
admin
2017-02-21
26
问题
f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,f(1)>0,
<0,证明:
方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
选项
答案
由上可知f(0)=0,ヨξ∈(0,1),使f(ξ)=0,令F(x)=f(x)f’(x),则f(0)=f(ξ)=0,由罗尔定理ヨη∈(0,ξ),使f’(η)=0,则F(0)=F(η)=F(ξ)=0,对F(x)在(0,η),(0,ξ)分别使用罗尔定理: ヨη
1
∈(0,η),η
2
∈(0,ξ),且η
1
,η
2
∈(0,1)η
1
≠η
2
,使得F’(η
1
)=F’(η
2
)=0, 即F’(x)=f(x)f"(x)+(f(x))
2
在(0,1)至少有两个实根.得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e3u4777K
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考研数学一
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