f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，＜0，证明：方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

admin2017-02-21 35

问题 f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，

＜0，证明：
方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]²=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

选项

答案由上可知f(0)=0，ヨξ∈(0，1)，使f(ξ)=0，令F(x)=f(x)f’(x)，则f(0)=f(ξ)=0，由罗尔定理ヨη∈(0，ξ)，使f’(η)=0，则F(0)=F(η)=F(ξ)=0，对F(x)在(0，η)，(0，ξ)分别使用罗尔定理：ヨη₁∈(0，η)，η₂∈(0，ξ)，且η₁，η₂∈(0，1)η₁≠η₂，使得F’(η₁)=F’(η₂)=0，即F’(x)=f(x)f"(x)+(f(x))²在(0，1)至少有两个实根．得证．

解析

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考研数学一

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