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[2008年] 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max(X,Y)的分布函数为( ).
[2008年] 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max(X,Y)的分布函数为( ).
admin
2019-04-15
79
问题
[2008年] 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max(X,Y)的分布函数为( ).
选项
A、F
2
(x)
B、F(x)F(y)
C、1-[1-F(x)]
2
D、[1-F(x)][1-F(y)]
答案
A
解析
解一 因X与Y同分布,故y的分布函数也是F(x).由命题3.2.5.2(2)知,F
max
(x)=F(x)F(y)=F
2
(x).仅(A)入选.
解二 仅(A)入选.设Z的分布函数为F
Z
(x),则
F
Z
(x)=P(Z≤x)=P(max(X,Y)≤x)=P(X≤x,Y≤x).
因X,Y独立同分布,故
F
Z
(x)=P(X≤x)P(Y≤x)=F(x)F(x)=F
2
(x).
解三 仅(A)入选.因Z的分布函数为一元函数,而非二元函数,故不能选(B)、(D).又因选项(C)为min(X,Y)的分布函数.事实上,有
P(min(X,Y)≤x)=1-P(min(X,Y)>x)=1-P(X>x,Y>x)=1-P(X>x)P(Y>x)
=1-[1-P(X≤x)][1-P(Y≤x)]=1-[1-F(x)][1一F(y)]
=1-[1-F(x)]
2
.
注:命题3.2.5.2 (2)当X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立且有相同分布函数F(z)时,有 F
max
(z)=[F(z)]
n
, F
min
(z)=1-[1-F(z)]
n
.
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考研数学三
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