设η1，…，ηS是非齐次线性方程组AX＝b的一组解，则k1η1＋…＋kSηS，为方程组AX＝b的解的充分必要条件是______．

admin2017-12-31 41

问题设η₁，…，η_S是非齐次线性方程组AX＝b的一组解，则k₁η₁＋…＋k_Sη_S，为方程组AX＝b的解的充分必要条件是______．

选项

答案k₁＋k₂＋…＋k_s＝1

解析 k₁＋k₂…＋k_s＝1．显然k₁η₁＋k₂η₂＋…＋k_sη_s为
方程组AX＝b的解的充分必要条件是A(k₁η₁＋k₂η₂＋…＋k_sη_s)＝b，
因为Aη₁＝Aη₂＝…＝Aη_s＝b，所以(k₁＋k₂＋…＋k_s)b＝b，注意到b≠0，所以k₁＋k₂＋…＋k_s＝1，即k₁η₁＋k₂η₂＋…＋k_sη_s为方程组AX＝b的解的充分必要条件是k₁＋k₂＋…＋k_s＝1．

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考研数学三

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