设g(χ)在[a,b]上连续,且f(χ)在[a,b]上满足f〞(χ)+g(χ)f′(χ)-f(χ)=0,又f(a)=f(b)=0,证明:f(χ)在[a,b]上恒为零.

admin2017-09-15  49

问题 设g(χ)在[a,b]上连续,且f(χ)在[a,b]上满足f〞(χ)+g(χ)f′(χ)-f(χ)=0,又f(a)=f(b)=0,证明:f(χ)在[a,b]上恒为零.

选项

答案设f(χ)在区间[a,b]上不恒为零,不妨设存在χ0∈(a,b),使得f(χ)>0,则f(χ)在(a,b)内取到最大值,即存在c∈(a,b),使得f(c)=M>0,且f′(c)=0,代入得f〞(c)=f(c)=M>0,则χ=c为极小值点,矛盾,即f(χ)≤0,同理可证明f(χ)≥0,故f(χ)≡0(a≤χ≤b).

解析
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