设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

admin2017-01-16 34

问题设A为三阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃。
证明：向量组β，Aβ，A²β线性无关；

选项

答案设k₁，k₂，k₃是实数，满足k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0，根据已知有Aα_i=λ_iα_i，(i=1，2，3)，所以 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃，将上述结果代入k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0可得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0。 α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 [*] 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]≠0，因此k₁=k₂=k₃=0，故β，Aβ，A²β线性无关。

解析

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考研数学一

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设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

考研数学一

连续进行n次独立重复试验，设每次试验中成功的概率为p，0≤p≤1．问p为何值时，成功次数的方差为0?p为何值时，成功次数的方差达到最大?

设X服从[a，b]上的均匀分布，证明αX+β(α>0)服从[aα+β，bα+β]上的均匀分布．

设A是n(n≥3)阶矩阵，满足A3=O，则下列方程组中有惟一零解的是()．

设函数f(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内有fˊ(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ε，使曲线y＝f(x)与两直线y＝f(ε)，x＝a所围平面图形面积s1是曲线y＝f(x)与两直线y＝f(ε)，x＝b所围平面图形面积S2的3倍．

某商场以每件a元的价格出售某种商品，若顾客一次购买50件以上，则超出50件的商品以每件0．8а元的优惠价出售，试将一次成交的销售收入R表示成销售量z的函数．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，证明存在ε∈(a，b)使得[f(b)－f(a)]gˊ(ε)＝[g(b)－g(a)]fˊ(ε)

设f(x)可导，求下列函数的导数：

求下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转而形成的旋转体的体积：(1)xy＝a2，y＝0，x＝a，x＝2a(a＞0)绕x轴和y轴；(2)x2＋(y－2)2＝1，绕x轴；(3)y＝lnx，y＝0，x＝e，绕x轴和y轴；(4)x2＋y2＝4，

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过Ⅱ表示为b2=________.

消化道平滑肌的紧张性和自动节律性主要依赖于

A．生理性黄疸B．新生儿溶血病C．先天性胆道闭锁D．新生儿败血症E．母乳性黄疸

A．舌色淡红B．舌质淡白C．舌质绛红D．舌质紫暗E．舌起粗大红刺邪人营血证的舌象是

初孕妇，26岁。妊娠37周，骨盆外测量：骶耻外径19．5cm，髂棘间径25cm，髂嵴问径28cm，坐骨棘间径8cm，坐骨结节间径6．5cm。此骨盆应诊断为

“提运单号”栏应填（）。

(2008年考试真题)某大型超市在2007年度缴纳的下列税种中，属于地方税务局征收的有()。

送给3个月大小的婴幼儿玩具时，颜色最好选择()。

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