设A为三阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3。 证明:向量组β,Aβ,A2β线性无关;

admin2017-01-16  30

问题 设A为三阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,令β=α123
证明:向量组β,Aβ,A2β线性无关;

选项

答案设k1,k2,k3是实数,满足k1β+k2Aβ+k3A2β=0,根据已知有Aαiiαi,(i=1,2,3),所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα31α12α23α3, A2β=λ12α122α232α3, 将上述结果代入k1β+k2Aβ+k3A2β=0可得 (k1+k2λ1+k3λ121+(k1+k2λ2+k3λ222+(k1+k2λ3+k3λ323=0。 α1,α2,α3是三个不同特征值对应的特征向量,则三个向量必定线性无关,因此 [*] 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]≠0,因此k1=k2=k3=0,故β,Aβ,A2β线性无关。

解析
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