求x2y″一xy′+y=x+的通解.

admin2016-11-03  35

问题 求x2y″一xy′+y=x+的通解.

选项

答案令x=et,t=lnx,则有 [*] 将其代回原方程,化原方程为 [*]+y=et+e-t. 其特征方程为r2—2r+1=0,r1=r2=1,故对应齐次方程的通解为 Y=(c1+c2t)et=x(c1+c2lnx). 令待求的一个特解为y1*=At2et.用待定系数法可求得A=1/2.故 y1*=[*]xln2x 令另一个待求特解为y2*=Be-t.同法可求得B=1/4.故 y2*=[*] 所以 y*=y1*+y2*=[*] 故原方程的通解为 y=x(c1+c2lnx)+[*]

解析 此为二阶欧拉方程,应熟悉此类方程的结构特点,还应掌握其固定的解法:
作变量代换x=et,将其化为常系数线性方程解之.
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