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求x2y″一xy′+y=x+的通解.
求x2y″一xy′+y=x+的通解.
admin
2016-11-03
32
问题
求x
2
y″一xy′+y=x+
的通解.
选项
答案
令x=e
t
,t=lnx,则有 [*] 将其代回原方程,化原方程为 [*]+y=e
t
+e
-t
. 其特征方程为r
2
—2r+1=0,r
1
=r
2
=1,故对应齐次方程的通解为 Y=(c
1
+c
2
t)e
t
=x(c
1
+c
2
lnx). 令待求的一个特解为y
1
*
=At
2
e
t
.用待定系数法可求得A=1/2.故 y
1
*
=[*]xln
2
x 令另一个待求特解为y
2
*
=Be
-t
.同法可求得B=1/4.故 y
2
*
=[*] 所以 y
*
=y
1
*
+y
2
*
=[*] 故原方程的通解为 y=x(c
1
+c
2
lnx)+[*]
解析
此为二阶欧拉方程,应熟悉此类方程的结构特点,还应掌握其固定的解法:
作变量代换x=e
t
,将其化为常系数线性方程解之.
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考研数学一
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