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  3. 求x2y″一xy′+y=x+的通解．

求x2y″一xy′+y=x+的通解．

admin2016-11-03  84
问题 求x2y″一xy′+y=x+的通解．
选项
答案令x=et，t=lnx，则有 [*] 将其代回原方程，化原方程为 [*]+y=et+e－t． 其特征方程为r2—2r+1=0，r1=r2=1，故对应齐次方程的通解为 Y=(c1+c2t)et=x(c1+c2lnx)． 令待求的一个特解为y1*=At2et．用待定系数法可求得A=1／2．故 y1*=[*]xln2x 令另一个待求特解为y2*=Be－t．同法可求得B=1／4．故 y2*=[*] 所以 y*=y1*+y2*=[*] 故原方程的通解为 y=x(c1+c2lnx)+[*]
解析 此为二阶欧拉方程，应熟悉此类方程的结构特点，还应掌握其固定的解法：
作变量代换x=et，将其化为常系数线性方程解之．
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考研数学一

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