求x2y″一xy′+y=x+的通解．

admin2016-11-03 59

问题求x²y″一xy′+y=x+

的通解．

选项

答案令x=e^t，t=lnx，则有 [*] 将其代回原方程，化原方程为 [*]+y=e^t+e^－t．其特征方程为r²—2r+1=0，r₁=r₂=1，故对应齐次方程的通解为 Y=(c₁+c₂t)e^t=x(c₁+c₂lnx)．令待求的一个特解为y₁^*=At²e^t．用待定系数法可求得A=1／2．故 y₁^*=[*]xln²x 令另一个待求特解为y₂^*=Be^－t．同法可求得B=1／4．故 y₂^*=[*] 所以 y^*=y₁^*+y₂^*=[*] 故原方程的通解为 y=x(c₁+c₂lnx)+[*]

解析此为二阶欧拉方程，应熟悉此类方程的结构特点，还应掌握其固定的解法：
作变量代换x=e^t，将其化为常系数线性方程解之．

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