为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克

admin2013-02-19 88

问题为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)

选项

答案作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 ω=ω₁+ω₂+ω₃，其中ω₁是克服抓斗自重所做的功，ω₂是克服缆绳重力所做的功，ω₃为提出污泥所做的功．由题意知 ω₁=400×30=12000．将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所做的功为 dω₂=50(30-x)dx，从而 ω_2
解析

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考研数学一

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