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函数f(x)在[0,+∞)上可导,且f(0)=1,满足等式 f′(x)+f(x)一f(t)dt=0. (1)求导数f′(x); (2)证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1.
函数f(x)在[0,+∞)上可导,且f(0)=1,满足等式 f′(x)+f(x)一f(t)dt=0. (1)求导数f′(x); (2)证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1.
admin
2016-01-25
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问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,且f(0)=1,满足等式
f′(x)+f(x)一
f(t)dt=0.
(1)求导数f′(x);
(2)证明:当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1.
选项
答案
(1)整理后有等式 (x+1)f′(x)+(x+1)f(x)一[*]f(t)dt=0, 求导得到 (x+1)f″(x)+(x+2)f′(x)=0. 设 u(x)=f′(x), 则 [*] 两边积分得到 lnu(x)=一x—ln(x+1)+lnC,u(x)=[*] 即 [*] (2)由 f′(x)=一[*]e
-x
① 且 x≥0, 则有不等式 一e
-x
≤一[*]e
-x
≤0 两边在[0,x]上积分,利用式①有 e
-x
一1≤f(x)一f(0)≤0, 即有不等式 e
-x
≤f(x)≤1.
解析
先在所给等式两边求导得到f(x)的二阶微分方程.为求f′(x),视f′(x)为因变量,化为一阶微分方程而求之.求出f′(x)的表示式后再放缩化为不等式,最后积分即可得到f(x)的不等式.
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考研数学三
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