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已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2. (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.
已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2. (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.
admin
2020-09-25
116
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+cx
3
2
一2x
1
x
2
+6x
1
x
3
—6x
2
x
3
的秩为2.
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.
(2)指出方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=1表示何种二次曲面.
选项
答案
(1)二次型矩阵A=[*]作初等变换 [*] 因R(A)=2,所以c=3.这时|λE一A|=[*]=λ(λ一4)(λ一9), 故所求特征值为λ=0,λ=4,λ=9. (2)由(1)可知f(x
1
,x
2
,x
3
)=1经过正交变换后将化为4y
2
2
+9y
3
2
=1.又经过非退化线性变换不改变空间曲面的类型,因此f(x
1
,x
2
,x
3
)=1为椭圆柱面.
解析
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考研数学三
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