已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2． (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值． (2)指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何种二次曲面．

admin2020-09-25 51

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=5x₁²+5x₂²+cx₃²一2x₁x₂+6x₁x₃—6x₂x₃的秩为2．
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值．
(2)指出方程f(x₁，x₂，x₃)=1表示何种二次曲面．

选项

答案(1)二次型矩阵A=[*]作初等变换 [*] 因R(A)=2，所以c=3．这时|λE一A|=[*]=λ(λ一4)(λ一9)，故所求特征值为λ=0，λ=4，λ=9． (2)由(1)可知f(x₁，x₂，x₃)=1经过正交变换后将化为4y₂²+9y₃²=1．又经过非退化线性变换不改变空间曲面的类型，因此f(x₁，x₂，x₃)=1为椭圆柱面．

解析

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考研数学三

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