已知曲线C上的动点P到χ轴的距离比到点F(0，2)的距离小2． (1)求曲线C的方程； (2)A(χ1，y1)与B(χ2，y2)均是曲线C上的点，另取一点Q(4，2)，当QA与QB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．

admin2015-12-09 10

问题已知曲线C上的动点P到χ轴的距离比到点F(0，2)的距离小2．
(1)求曲线C的方程；
(2)A(χ₁，y₁)与B(χ₂，y₂)均是曲线C上的点，另取一点Q(4，2)，当QA与QB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．

选项

答案1(1)由已知可知，曲线C上的动点P到直线χ＝－2的距离等于到点F(0，2)的距离，故曲线C为抛物线，设抛物线C的方程为χ²＝2py，则[*]＝2，即p＝4，所以曲线C即抛物线C的方程为χ²＝8y． (2)因QA与QB的斜率存在且倾斜角互补，故有k_QA＝－k_QB，则[*]，又因为A(χ₁，y₁)与B(χ₂，y₂)均是曲线C上的点，则χ₁²＝8y₁，χ₂²＝8y₂，所以[*]，整理得χ₁＋χ₂＋80，则k_AB＝[*]×(－8)＝－1．

解析

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已知曲线C上的动点P到χ轴的距离比到点F(0，2)的距离小2． (1)求曲线C的方程； (2)A(χ1，y1)与B(χ2，y2)均是曲线C上的点，另取一点Q(4，2)，当QA与QB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．

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