2. 考研
  3. α2+β2的最小值是 (1)α与β是方程x2一2ax+(a2+2a+1)=0的两个实根 (2)

α2+β2的最小值是 (1)α与β是方程x2一2ax+(a2+2a+1)=0的两个实根 (2)

admin2016-04-08  52
问题 α2+β2的最小值是
    (1)α与β是方程x2一2ax+(a2+2a+1)=0的两个实根
    (2)
选项 A、条件(1)充分，但条件(2)不充分．
B、条件(2)充分，但条件(1)不充分．
C、条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．
D、条件(1)充分，条件(2)也充分．
E、条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．
答案D
解析 由条件(1)，有α+β=2α，αβ=α2+2α+1
    所以，α2+β2=(α+β)2一2αβ
          =4a2一2(a24-2a+1)
          =2(a2—2a一1)≥0
    可得a的取值范围是
    又方程x2一2ax+(a2+2a+1)=0的判别式
    △=4a2一4(a2+2a+1)=一8a一4≥0
    得．对比上面的结论①，可知a的取值范围是时取得最小值．即
   
    故条件(1)充分．
    由条件(2)，因为α2+β2≥2αβ=，等号当且仅当α=β时成立．即α2+β2的最小值是．条件(2)也充分．
    故本题应选D．
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