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设α1,α2,α3,α4,β为四维列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),已知方程组Aχ=β的通解是(-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T. (Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示? (Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大
设α1,α2,α3,α4,β为四维列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),已知方程组Aχ=β的通解是(-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T. (Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示? (Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大
admin
2016-03-16
31
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β为四维列向量组,A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),已知方程组Aχ=β的通解是(-1,1,0,2)
T
+k(1,-1,2,0)
T
.
(Ⅰ)β能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?
(Ⅱ)求α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β的一个极大线性无关组.
选项
答案
(Ⅰ)设β
1
=kα
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
,则Aχ=β有解(k
1
,k
2
,k
3
,0)
T
与(-1,1,0,2)
T
,又(1,-1,2,0)
T
为Aχ=0的基础解系,因此 (k
1
+1,k
2
-1,k
3
,-2)T=t(-1,1,0,2)
T
上式矛盾,所以β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. (Ⅱ)由4-r(A)=1,知r(A)=3,即r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=3, [*] 所以α
3
与β都可由α
1
,α
2
,α
4
线性表示,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β的一个极大线性无关组为α
1
,α
2
,α
4
.
解析
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考研数学二
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