设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组AkX=0有解向量α，但Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2019-03-21 34

问题设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组A^kX=0有解向量α，但A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案设有一组数λ₁，λ₂，…，λ_n，使λ₁α+λ₂Aα+…+λ_nA^k-1α=0两端左乘A^k-1，得λ₁A^k-1α=0．因A^k-1α≠0，得λ₁=0．类似可得λ₂=…=λ_k=0．故α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析

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