设a，Aa，A2a线性无关，且3Aa－2A2a－A3a＝0，其中A为3阶矩阵，a为3维列向量求A的特征值与特征向量；

admin2022-06-09 91

问题设a，Aa，A²a线性无关，且3Aa－2A²a－A³a＝0，其中A为3阶矩阵，a为3维列向量
求A的特征值与特征向量；

选项

答案由3Aa－2A²a－A³a＝0，有 A(A²a＋2Aa－3a)＝0＝0·(A²＋2Aa－3a) 又因为a，Aa，A²a线性无关，所以A²a＋2Aa－3a≠0，故λ¹＝0是A的特征值，A²a＋2Aa－3a为其对应的特征向量，类似地，由A³a＋2A²a－3Aa＝0，有 (A—E)(A²a＋3Aa)＝0，(A＋3E)(A²a－Aa)＝0，即 A(A²a＋3Aa)＝A²a＋3Aa，A(A²a－Aa)＝－3(A²a－Aa)，故λ₂＝1是A的特征值，A²a＋3Aa为其对应的特征向量;λ₃＝－3是A的特征值， A²a－Aa为其对应的特征向量.

解析

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