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设α1,α2,α3,…,αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。
设α1,α2,α3,…,αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。
admin
2021-11-25
42
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,…,α
t
为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α
1
,β+α
2
,β+α
3
,…,β+α
t
线性无关。
选项
答案
方法一 由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
t
线性无关→β，α
1
,α
2
,α
3
,…,α
t
线性无关 令kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+k
3
(β+α
3
)+…+k
t
(β+α
t
)=0 即(k+k
1
+...+k
t
)β+k
1
α
1
+k
2
α
2
+...+k
t
α
t
=0 ∵β，α
1
,α
2
,α
3
,…,α
t
线性无关, ∴[*]→k=k
1
=...=k
t
=0 ∴β，β+α
1
,β+α
2
,β+α
3
,…,β+α
t
线性无关。 方法二 令kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+k
3
(β+α
3
)+…+k
t
(β+α
t
)=0 (k+k
1
+...+k
t
)β=－k
1
α
1
－...－k
t
α
t
(k+k
1
+...+k
t
)Aβ=－k
1
Aα
1
－...－k
t
Aα
t
=0 ∵Aβ≠0,∴k+k
1
+...+k
t
=0, ∴k
1
α
1
+...+k
t
α
t
=0 →k=k
1
=...=k
t
=0 所以β，β+α
1
,β+α
2
,β+α
3
,…,β+α
t
线性无关。
解析
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0
考研数学二
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