2. 考研
  3. 设α1,α2,α3,…,αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。

设α1,α2,α3,…,αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。

admin2021-11-25  58
问题 设α1,α2,α3,…,αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。
选项
答案方法一 由α1,α2,α3,…,αt线性无关→β，α1,α2,α3,…,αt线性无关 令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+k3(β+α3)+…+kt(β+αt)=0 即(k+k1+...+kt)β+k1α1+k2α2+...+ktαt=0 ∵β，α1,α2,α3,…,αt线性无关, ∴[*]→k=k1=...=kt=0 ∴β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。 方法二 令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+k3(β+α3)+…+kt(β+αt)=0 (k+k1+...+kt)β=－k1α1－...－ktαt (k+k1+...+kt)Aβ=－k1Aα1－...－ktAαt=0 ∵Aβ≠0,∴k+k1+...+kt=0, ∴k1α1+...+ktαt=0 →k=k1=...=kt=0 所以β，β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。
解析
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考研数学二

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