设α1,α2,α3,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。

admin2021-11-25  25

问题 设α123,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。

选项

答案方法一 由α123,…,αt线性无关→β,α123,…,αt线性无关 令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+k3(β+α3)+…+kt(β+αt)=0 即(k+k1+...+kt)β+k1α1+k2α2+...+ktαt=0 ∵β,α123,…,αt线性无关, ∴[*]→k=k1=...=kt=0 ∴β,β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。 方法二 令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+k3(β+α3)+…+kt(β+αt)=0 (k+k1+...+kt)β=-k1α1-...-ktαt (k+k1+...+kt)Aβ=-k11-...-ktt=0 ∵Aβ≠0,∴k+k1+...+kt=0, ∴k1α1+...+ktαt=0 →k=k1=...=kt=0 所以β,β+α1,β+α2,β+α3,…,β+αt线性无关。

解析
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