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设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．
设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．
admin
2022-07-21
43
问题
设数列{a
n
)满足a
1
=a
2
=1，且a
n+1
=a
n
+a
n-1
，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数
a
n
x
n-1
收敛，并求其和函数及系数a
n
．
选项
答案
显然{a
n
}是正项严格单调递增数列，且有a
3
=2，a
4
=a
2
+a
3
＜2a
3
=2
2
，假设a
n
＜2
n-2
，则a
n+1
=a
n
+a
n-1
＜2a
n
=2
n-1
，故由归纳法得a
n
＜2
n-2
于是当｜x｜＜1/2时，级数的通项｜a
n
x
n-1
｜＜[*](2x)
n-1
．而级数[*](2x)
n-1
在｜2x｜＜1，即｜x｜＜1/2时收敛，故由比较判别法知，级数[*]a
n
x
n-1
在｜x｜＜1/2时绝对收敛． 又 [*] 移项后的原级数的和函数为 [*] 而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原级数的系数a
n
=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/exR4777K
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考研数学三
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