2. 考研
  3. 设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

admin2022-07-21  56
问题 设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．
选项
答案显然{an}是正项严格单调递增数列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2a3=22，假设an＜2n-2，则an+1=an+an-1＜2an=2n-1，故由归纳法得an＜2n-2于是当｜x｜＜1/2时，级数的通项｜anxn-1｜＜[*](2x)n-1．而级数[*](2x)n-1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜1/2时收敛，故由比较判别法知，级数[*]anxn-1在｜x｜＜1/2时绝对收敛． 又 [*] 移项后的原级数的和函数为 [*] 而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原级数的系数an=[*]
解析
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考研数学三

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