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设数列{an)满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明当|x|<1/2时,级数anxn-1收敛,并求其和函数及系数an.
设数列{an)满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明当|x|<1/2时,级数anxn-1收敛,并求其和函数及系数an.
admin
2022-07-21
118
问题
设数列{a
n
)满足a
1
=a
2
=1,且a
n+1
=a
n
+a
n-1
,n=2,3,….证明当|x|<1/2时,级数
a
n
x
n-1
收敛,并求其和函数及系数a
n
.
选项
答案
显然{a
n
}是正项严格单调递增数列,且有a
3
=2,a
4
=a
2
+a
3
<2a
3
=2
2
,假设a
n
<2
n-2
,则a
n+1
=a
n
+a
n-1
<2a
n
=2
n-1
,故由归纳法得a
n
<2
n-2
于是当|x|<1/2时,级数的通项|a
n
x
n-1
|<[*](2x)
n-1
.而级数[*](2x)
n-1
在|2x|<1,即|x|<1/2时收敛,故由比较判别法知,级数[*]a
n
x
n-1
在|x|<1/2时绝对收敛. 又 [*] 移项后的原级数的和函数为 [*] 而[*]的和函数,则由幂级数展开式的唯一性,经比较系数得原级数的系数a
n
=[*]
解析
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考研数学三
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