设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

admin2022-07-21 49

问题设数列{a_n)满足a₁=a₂=1，且a_n+1=a_n+a_n-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数

a_nx^n-1收敛，并求其和函数及系数a_n．

选项

答案显然{a_n}是正项严格单调递增数列，且有a₃=2，a₄=a₂+a₃＜2a₃=2²，假设a_n＜2^n-2，则a_n+1=a_n+a_n-1＜2a_n=2^n-1，故由归纳法得a_n＜2^n-2于是当｜x｜＜1/2时，级数的通项｜a_nx^n-1｜＜[*](2x)^n-1．而级数[*](2x)^n-1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜1/2时收敛，故由比较判别法知，级数[*]a_nx^n-1在｜x｜＜1/2时绝对收敛．又 [*] 移项后的原级数的和函数为 [*] 而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原级数的系数a_n=[*]

解析

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考研数学三

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设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

考研数学三

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证明：当x＞0时，arctanx+

设曲线(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．

设f(x)=∫-1x(1-｜t｜)dt(x＞-1)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．

把f(x，y)dxdy写成极坐标的累次积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}．

求下列极限：

如图，C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P分别引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=x2，求曲线C2的方程．

若正项级数an与正项级数bn都收敛，证明下列级数收敛：

求极限

设y=f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：对(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立；

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