如图，C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P分别引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=x2，求曲线C2的方程．

admin2019-09-04 103

问题如图，C₁，C₂是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C₁，C₂之间，如果过C上任意一点P分别引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x²，C₁的方程是y=

x²，求曲线C₂的方程．

选项

答案由题设，C：y=x²，C₁：y=[*]x²，令C₂：x=f(y)，P点坐标为(x，y)，则S_A=∫₀^x(x²-[*]x²)dx=[*]x³，S_B=∫₀^y[*]-∫₀^yf(y)dy，所以[*]x³=[*]-∫₀^yf(y)dy，因为P∈C，所以有∫₀^yf(y)dy=[*]x³，即 ∫₀^x²f(y)dy=[*]x³，两边对x求导，得2x.f(x²)=[*]x²，即f(x²)=[*] 从而C₂的方程为x=f(y)=[*]x²．

解析

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考研数学三

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如图，C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P分别引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=x2，求曲线C2的方程．

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