设问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P—1AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵D．

admin2019-07-23 20

问题设

问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P^—1AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵D．

选项

答案由｜λE—A｜=[*]=(λ+1)²(λ一1)=0，得A的全部特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=1．故A可对角化→A的属于2重特征值λ₁=λ₂=一1的线性无关特征向量有2个→方程组(一E—A)x=0的基础解系含2个向量→3一r(一E—A)=2→r(—E—A)=[*]=1→k=0．当k=0时，可求出A的对应于特征值一1，一1；1的线性无关特征向量分别可取为α₁=(一l，2，0)^T，α₂=(1，0，2)^T；α₃=(1，0，1)^T，故令P=[α₁ α₂ α₃]=[*]，则有P^—1AP=diag(一1，一1，1)．

解析

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考研数学一

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