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设 问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P—1AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵D.
设 问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P—1AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵D.
admin
2019-07-23
18
问题
设
问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P
—1
AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵D.
选项
答案
由|λE—A|=[*]=(λ+1)
2
(λ一1)=0,得A的全部特征值为λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=1.故A可对角化→A的属于2重特征值λ
1
=λ
2
=一1的线性无关特征向量有2个→方程组(一E—A)x=0的基础解系含2个向量→3一r(一E—A)=2→r(—E—A)=[*]=1→k=0.当k=0时,可求出A的对应于特征值一1,一1;1的线性无关特征向量分别可取为α
1
=(一l,2,0)
T
,α
2
=(1,0,2)
T
;α
3
=(1,0,1)
T
,故令P=[α
1
α
2
α
3
]=[*],则有P
—1
AP=diag(一1,一1,1).
解析
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考研数学一
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