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  3. 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y＝－1}＝，P{Y＝1}＝，求： (Ⅰ)Z＝XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V＝｜X－Y｜的概率密度fV(v)．

假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y＝－1}＝，P{Y＝1}＝，求： (Ⅰ)Z＝XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V＝｜X－Y｜的概率密度fV(v)．

admin2018-11-23  31
问题 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y＝－1}＝，P{Y＝1}＝，求：
    (Ⅰ)Z＝XY的概率密度fZ(z)；
    (Ⅱ)V＝｜X－Y｜的概率密度fV(v)．
选项
答案(Ⅰ)依题意P{Y＝－1}＝[*]，P{Y＝1}＝[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z＝XY的分布函数为 FZ(z)＝P{XY≤z}＝P{Y＝－1}P{XY≤z｜Y＝－1}＋P{Y＝1}P{XY≤z｜Y＝1} ＝P{Y＝－1}P{－X≤z｜Y＝－1}＋P{Y＝1}P{X≤z｜Y＝1} ＝P{Y＝－1}P{X≥－z}＋P{Y＝1}P{X≤z} ＝[*][1－P}X＜－z}]＋[*]P{X≤z} ＝[*]， 即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为 fZ(z)＝φ(z)＝[*]． (Ⅱ)由于V＝｜X－Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)＝P{｜X－Y｜≤v}＝0；当v≥0时， FV(v)＝P{－v≤X－Y≤v} P{Y＝－1}P{－v≤X－Y≤v｜Y＝－1}＋P{Y＝1}P{－v≤X－Y≤v｜Y＝1} ＝[*]P{v－1≤X≤v－1｜Y＝－1}＋[*]{－v＋1≤X≤v＋1｜Y＝1} ＝[*]P{－v－1≤X≤v－1}＋[*]P{－v＋1≤X≤v＋1} ＝[*][Ф(v－1)－Ф(－v－1)]＋[*][Ф(v＋1)－Ф(－v＋1)] ＝[*]Ф(v－1)－[*][1－Ф(v＋1)]＋[*](v＋1)－[*][1－Ф(v－1)] ＝Ф(v－1)＋Ф(v＋1)－1． 综上计算可得 [*] 由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一

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