首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设当a≤x≤b时,a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k<1,对于[a,b]上的任意两点x1与x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|,证明: 存在唯一的ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξ.
设当a≤x≤b时,a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k<1,对于[a,b]上的任意两点x1与x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|,证明: 存在唯一的ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξ.
admin
2021-06-16
89
问题
设当a≤x≤b时,a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k<1,对于[a,b]上的任意两点x
1
与x
2
,都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤k|x
1
-x
2
|,证明:
存在唯一的ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξ.
选项
答案
由连续性及a≤f(x)≤b,再由介值定理可证ξ的存在性,因为这里未设函数可导,所以无法用导数证明零点的唯一性,而应采用反证法证明。 由|f(x
1
-f(x
2
|≤k|x
1
-x
2
|,对于任意固定的x
0
∈[a,b]作为其中的x
2
,并将x
1
记为x,于是有 |f(x)-f(x
0
)|≤k|x-x
0
| 当x→x
0
时,|f(x)-f(x
0
)|→0,于是有[*]=f(x
0
),可知f(x)在x
0
∈[a,b]处连续,由x
0
的任意性,知f(x)在[a,b]上连续。 令φ(x)=f(x)-x,则 φ(a)=f(a)-a≥0,φ(b)=f(b)-b≤0 上述两不等式中若至少有一个等式成立,例如φ(a)=0,则取ξ=a∈[a,b],有φ(ξ)=f(ξ)-ξ=0 若上述两不等式中无一个等式成立,即φ(a)=f(a)-a>0,φ(b)=f(b)-b<0,于是由连续函数介值定理知,存在ξ∈(a,b),使得φ(ξ)=f(ξ)-ξ=0 再证唯一性,用反证法证明。 设存在ξ∈[a,b],η≠ξ,使得φ(η)=f(η)-η=0,于是 f(η)-f(ξ)=η-ξ |η-ξ|=|f(η)-f(ξ)|≤k|η-ξ| 即(1-k)|η-ξ|≤0. 但因1-k>0,|η-ξ|>0,导致矛盾,所以η=ξ,证明了唯一性。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/f6y4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设=_____________.
设矩阵A满足A2+A-4层=0,其中E为单位矩阵,则(A-E)-1=________.
设f(x)是奇函数,且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2),又f(1)=a,a为常数,n为整数,则f(n)=_____________.
分子、分母同乘以某一三角函数.[*]
设(I)证明f(x)在x=0处连续;(Ⅱ)求区间(-1,﹢∞)内的f’(x),并由此讨论区间(-1,﹢∞)内f(x)的单调性.
设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x),且有f’(0)=b,其中a,b为非零常数,则()
设n维列向量组α1…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1…,βm线性无关的充分必要条件是()
设f(χ)可导,则当△χ→0时,△y-dy是△χ的().
设y=arcsinx.求y(n)|x=0.
设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2,已知f(1)=0,求∫12f(x)dx.
随机试题
下列治法除哪项外均为脱疽治法:
无牙颌牙槽嵴终身持续吸收,一般每年为
基准地价具有时效性,法定期限是()年,每个城市在测算时会有具体的规定,如果超过规定的年期,基准地价与市场情况差异可能很大,会失去客观性。
要约的消灭与要约的撤销具有相同的含义。()
常用的铸铁分为( )。
Helookedlikeaforeigner,buthisaccentgavehim______.
受要约人对要约的内容作出实质性变更后而向要约人发出的意思表示,依法应当视为()。
生产力对教育的发展具有制约作用,生产力水平低意味着教育发展水平低。()
曲线r=eθ在θ=处的切线方程为_______.
要使标签中的文本靠右显示,应将其Aligment属性设置为()。
最新回复
(
0
)