2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1,，证明： (Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=； (Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1,，证明： (Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=； (Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。

admin2017-11-30  75
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1,，证明：   
(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=；
(Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。
选项
答案(Ⅰ)根据已知条件，存在a∈(0，1]，使得f(a)=M。令 F(x)=f(x)－[*]， 显然F(x)在[0，1]上连续，又因为f(0)=0，n＞1，故 [*] 由零点定理可知，至少存在一点c∈(0，a)，使得F(c)=f(c)－[*]=0，即f(c)=[*]。 (Ⅱ)在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得 f(c)－f(0)=cf’(ξ) (1) f(1)－f(c)=(1－c)f’(η) (2) 由(1).f’(η)+(2).f’(ξ)，结合f(0)=f(1)=0可得， [f’(η)－f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η)， 再由结论f(c)=[*]可知， [*]
解析
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考研数学三

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