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  3. 设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明： α1,α2，…，αn-1ξ线性无关。

设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明： α1,α2，…，αn-1ξ线性无关。

admin2019-07-22  55
问题 设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明：
α1,α2，…，αn-1ξ线性无关。
选项
答案设k1α1+k1α2+…+kn-1αn-1+k0ξ1=0，两边取转置得 k1α1T+k2α2T+…+kn-1αn-1T+k0ξ1T=0， 上式两端同时右乘ξ1得 k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn-1αn-1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0，注意到αiTξ1=0(i=1，2，…，n一1)，所以k0ξ1Tξ1=0.由ξ1≠0可得ξ1Tξ1≠0，于是k0=0，从而 有k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1=0。 又因为α1，α2，…，αn-1线性无关，所以k1=k2=…=kn-1=k0=0，故α1，α2，…，αn-1，ξ1，线性无关。
解析
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