已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则行列式|A3-5A2+7A|=______

admin2016-05-31  61

问题 已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则行列式|A3-5A2+7A|=______

选项

答案18

解析 令λ为矩阵A的特征值,则(λ3-5λ2+7λ)为(A3-5A4+7A)的特征值多项式.令φ(λ)=λ3-5λ2+7λ,由于1,2,3是A的特征值,则φ(1)=3,φ(2)=2,φ(3)=3是φ(A)的特征值,
  故有
    |A3-5A2+7A|=|φ(A)|=φ(1)φ(2)φ(3)=3×2×3=18.
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