设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=，该微分方程的通解为_

admin2016-09-12 54

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e^-4x+x²+3x+2，则Q(x)=______，该微分方程的通解为_______

选项

答案-12x²-34x-19，C₁e^-4x+C₂e²+x2+3x+2

解析显然λ=-4是特征方程λ²+λ+q=0的解，故q=-12，
即特征方程为λ²+λ-12=0，特征值为λ₁=-4，λ₂=3．
因为x²+3x+2为特征方程y’’+y’-12y=Q(x)的一个特解，
所以Q(x)=2+2x+3-12(x²+3x+2)=-12x²-34x-19，
且通解为y=C₁e^-4x+C₂e²+x2+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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