设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=，该微分方程的通解为_

admin2016-09-12 40

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e^-4x+x²+3x+2，则Q(x)=______，该微分方程的通解为_______

选项

答案-12x²-34x-19，C₁e^-4x+C₂e²+x2+3x+2

解析显然λ=-4是特征方程λ²+λ+q=0的解，故q=-12，
即特征方程为λ²+λ-12=0，特征值为λ₁=-4，λ₂=3．
因为x²+3x+2为特征方程y’’+y’-12y=Q(x)的一个特解，
所以Q(x)=2+2x+3-12(x²+3x+2)=-12x²-34x-19，
且通解为y=C₁e^-4x+C₂e²+x2+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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考研数学二

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假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:在开区间(a,b)内g(x)≠0.
如图所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线L1与直线L2分别是曲线C在点(0,0)与（3，2）处的切线，其交点为(2,4)设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx。
设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证：在(0,1)内存在一点ε，使得F"’(ε)=0.
已知函数f(x)在其定义域上存在二阶导数，于是().
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