下列结论正确的是( ).

admin2016-05-17  25

问题 下列结论正确的是(    ).

选项 A、若A,B特征值相同,则A~B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A,B特征值相同,则A,B等价
D、A,B的特征值相同且A,B都可对角化,则A~B

答案D

解析 令A=,B=,因为|λE-A|=|λE-B|=λ2(λ-1),所以A,B特征值相同,但r(A)=2≠r(B)=1,故A,B不相似,(A)不正确;
对A=,显然λ12=0,λ3=1,而r(A)=2,所以(B)不正确;
由(A),A,B特征值相同,A,B的秩不一定相等,故(C)不正确;
设A,B的特征值相同且A,B都可对角化,令其特征值为λ1,λ2,…,λn,因为A,B都可对角化,所以存在可逆阵P1,P2,使得,从而有,于是=B,令P1P2-1=P,则P-1AP=B,即A~B,选(D) .
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