(2001年)已知α1,α2,α3,α4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是AX=0的一个基础解系.

admin2016-05-30  45

问题 (2001年)已知α1,α2,α3,α4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是AX=0的一个基础解系.

选项

答案由Aβ1=A(α1+tα2)=Aα1+tAα2=0+0=0,知β1为Aχ=0的解.同理可知β2,β3也都是Aχ=0的解.已知Aχ=0的基础解系含4个向量,故β1,β2,β3,β4为Aχ=0的一个基础解系,当且仅当β1,β2,β3,β4线性无关. 设有一组数χ1,χ2,χ3,χ4,使得 χ1β1+β2χ2+χ3β3+χ4β4=0 即(χ1+tχ41+(tχ1+χ22+(tχ2+χ33(tχ3+χ44=0,由于α1,α2,α3,α4线性无关,故 [*] 故当且仅当1-t4≠0,即t≠±1时,方程组(*)仅有零解,此时β1,β2,β3,β4线性无关,从而可作为Aχ=0的一个基础解系.

解析
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