2. 考研
  3. (2001年)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2，β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX＝0的一个基础解系．

(2001年)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2，β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX＝0的一个基础解系．

admin2016-05-30  55
问题 (2001年)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2，β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX＝0的一个基础解系．
选项
答案由Aβ1＝A(α1＋tα2)＝Aα1＋tAα2＝0＋0＝0，知β1为Aχ＝0的解．同理可知β2，β3也都是Aχ＝0的解．已知Aχ＝0的基础解系含4个向量，故β1，β2，β3，β4为Aχ＝0的一个基础解系，当且仅当β1，β2，β3，β4线性无关． 设有一组数χ1，χ2，χ3，χ4，使得 χ1β1＋β2χ2＋χ3β3＋χ4β4＝0 即(χ1＋tχ4)α1＋(tχ1＋χ2)α2＋(tχ2＋χ3)α3(tχ3＋χ4)α4＝0，由于α1，α2，α3，α4线性无关，故 [*] 故当且仅当1－t4≠0，即t≠±1时，方程组(*)仅有零解，此时β1，β2，β3，β4线性无关，从而可作为Aχ＝0的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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