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(2001年)已知α1,α2,α3,α4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是AX=0的一个基础解系.
(2001年)已知α1,α2,α3,α4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是AX=0的一个基础解系.
admin
2016-05-30
68
问题
(2001年)已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β
1
=α
1
+tα
2
,β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+tα
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,讨论实数t满足什么关系时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是AX=0的一个基础解系.
选项
答案
由Aβ
1
=A(α
1
+tα
2
)=Aα
1
+tAα
2
=0+0=0,知β
1
为Aχ=0的解.同理可知β
2
,β
3
也都是Aχ=0的解.已知Aχ=0的基础解系含4个向量,故β
1
,β
2
,β
3
,β
4
为Aχ=0的一个基础解系,当且仅当β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关. 设有一组数χ
1
,χ
2
,χ
3
,χ
4
,使得 χ
1
β
1
+β
2
χ
2
+χ
3
β
3
+χ
4
β
4
=0 即(χ
1
+tχ
4
)α
1
+(tχ
1
+χ
2
)α
2
+(tχ
2
+χ
3
)α
3
(tχ
3
+χ
4
)α
4
=0,由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,故 [*] 故当且仅当1-t
4
≠0,即t≠±1时,方程组(*)仅有零解,此时β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,从而可作为Aχ=0的一个基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/z734777K
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考研数学二
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