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设A是n阶反对称矩阵,A*为A的伴随矩阵. (Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*为对称矩阵; (Ⅱ)举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子; (Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
设A是n阶反对称矩阵,A*为A的伴随矩阵. (Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*为对称矩阵; (Ⅱ)举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子; (Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
admin
2020-12-10
91
问题
设A是n阶反对称矩阵,A
*
为A的伴随矩阵.
(Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A
*
为对称矩阵;
(Ⅱ)举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子;
(Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
选项
答案
利用反对称矩阵的定义及其性质证之. 解 (Ⅰ)由反对称矩阵定义知,A
T
=一A,故 ∣A∣=∣A
T
∣=∣—A∣=(一1)
n
∣A∣, 即 [1一(一1)
n
]∣A∣=0. 若n=2k+1,必有∣A∣=0,所以A可逆的必要条件是n为偶数.因A
T
=一A,由(A
*
)
T
=(A
T
)
*
有 (A
*
)
T
=(A
T
)
*
=(一A)
*
. 又因(kA)
*
=k
n-1
A
*
,故当n=2k+1时,有 (A
*
)
T
=(一A)
*
=(一1)
n-1
A
*
=(一1)
2k
A
*
=A
*
, 即A
*
是对称矩阵. (Ⅱ)例如,[*]是四阶反对称矩阵,且不可逆. (Ⅲ)若λ是A的特征值,有∣λE一A∣=0,那么 ∣一λE一A∣=∣(一λE一A)
T
∣=∣一λE一A
T
∣=∣一λE+A∣ =∣一(λE一A)∣=(一1)
n
∣λE一A∣=0, 所以一λ是A的特征值.
解析
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