设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2019-06-09 101

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案所给向量组为一抽象向量组，可用定义证之．证时要充分利用由一个向量组成的向量组A^k-1α的线性无关性，因A^k-1α≠0．用线性无关定义证之．为此，设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂Aα+…+λ_kA^k-1α=0． ① 下面证明λ₁=λ₂=…=λ_k=0．为此在式①两边左乘A^k-1，得 λ₁A^k-1α+λ₂A^kα+λ₃A^k+1α+…+λ_kA^2(k-1)α=0．因A^kα=0，上式从第2项起各项皆为零，因而有λ₁A^k-1α=0．而A^k-1α≠0，故λ₁=0．将λ₁=0代入式①，得到 λ₂Aα+λ₃A²α+…+λ_kA^k-1α=0． ② 同法用A^k-2左乘式②，由A^kα=0可推得λ₂A^k-1α=0，而A^k-1α≠0，故λ₂=0．以此类推，易证得λ₃=λ₄…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，A²α，…，A^kα线性无关．

解析

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考研数学二

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