设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2019-06-09 48

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案所给向量组为一抽象向量组，可用定义证之．证时要充分利用由一个向量组成的向量组A^k-1α的线性无关性，因A^k-1α≠0．用线性无关定义证之．为此，设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂Aα+…+λ_kA^k-1α=0． ① 下面证明λ₁=λ₂=…=λ_k=0．为此在式①两边左乘A^k-1，得 λ₁A^k-1α+λ₂A^kα+λ₃A^k+1α+…+λ_kA^2(k-1)α=0．因A^kα=0，上式从第2项起各项皆为零，因而有λ₁A^k-1α=0．而A^k-1α≠0，故λ₁=0．将λ₁=0代入式①，得到 λ₂Aα+λ₃A²α+…+λ_kA^k-1α=0． ② 同法用A^k-2左乘式②，由A^kα=0可推得λ₂A^k-1α=0，而A^k-1α≠0，故λ₂=0．以此类推，易证得λ₃=λ₄…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，A²α，…，A^kα线性无关．

解析

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考研数学二

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

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设矩阵A=为A对应的特征向量．求a，b及α对应的A的特征值；

设f(χ)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得

设a1=0，当n≥1时，an+1=2一cosan，证明：数列{an}收敛，并证明其极限值位于区间(，3)内．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．求A的特征值与特征向量．

设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．

设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2一4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数。问k为何值时，f(x)在x=0处可导。

设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分I=。

设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线yf(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

(2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于()．

设B是3阶矩阵，O是3阶零矩阵，r(B)=1，则分块矩阵的秩为________．

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矩阵制组织结构在()环境中较为有效。

下列车船税法定免税的有()。

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(tell)______thetruth,Idon’tliketheideaatall.

______upattheclockonthewall,thesecretaryfounditwasalreadymidnight.

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