设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2019-06-09 60

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案所给向量组为一抽象向量组，可用定义证之．证时要充分利用由一个向量组成的向量组A^k-1α的线性无关性，因A^k-1α≠0．用线性无关定义证之．为此，设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂Aα+…+λ_kA^k-1α=0． ① 下面证明λ₁=λ₂=…=λ_k=0．为此在式①两边左乘A^k-1，得 λ₁A^k-1α+λ₂A^kα+λ₃A^k+1α+…+λ_kA^2(k-1)α=0．因A^kα=0，上式从第2项起各项皆为零，因而有λ₁A^k-1α=0．而A^k-1α≠0，故λ₁=0．将λ₁=0代入式①，得到 λ₂Aα+λ₃A²α+…+λ_kA^k-1α=0． ② 同法用A^k-2左乘式②，由A^kα=0可推得λ₂A^k-1α=0，而A^k-1α≠0，故λ₂=0．以此类推，易证得λ₃=λ₄…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，A²α，…，A^kα线性无关．

解析

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考研数学二

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学二

设fn(x)=x+x2+…一xn，n=2，3，…．(1)证明方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；(2)求．

设矩阵A=为A对应的特征向量．求a，b及α对应的A的特征值；

设a1=0，当n≥1时，an+1=2一cosan，证明：数列{an}收敛，并证明其极限值位于区间(，3)内．

设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．

设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2一4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数。问k为何值时，f(x)在x=0处可导。

设f(x)为可导函数，且满足条件=一1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()

设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=_________。

α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且｜A｜=1，｜B｜=2，则｜A+B｜=()

(2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于()．

不能作为超声造影剂微泡内气体散射回声源的是

下列关于乙型肝炎病毒“大三阳、小三阳”的表述，正确的有

A．盐酸哌替啶B．盐酸普鲁卡因C．地西泮D．雄黄E．地塞米松属精神药品的是()。

下列对于税收筹划的理解正确的有()。

不是创设情景的教学方法是（）。

【2015四川】教师职业是以教书育人为职责的创造性职业。()

马克思说，“观念的东西不外是移入人脑并在人脑中改造过的物质的东西而已”。对于这一观点，以下表述不正确的选项有()。

Thebosstookitforgrantedthathissecretaryshouldkeephimwell-informed.

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