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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
admin
2019-06-09
68
问题
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
X=0有解向量α，且A
k-1
α≠0．证明向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
选项
答案
所给向量组为一抽象向量组，可用定义证之．证时要充分利用由一个向量组成的向量组A
k-1
α的线性无关性，因A
k-1
α≠0． 用线性无关定义证之．为此，设有常数λ
1
，λ
2
，…，λ
k
，使得 λ
1
α+λ
2
Aα+…+λ
k
A
k-1
α=0． ① 下面证明λ
1
=λ
2
=…=λ
k
=0．为此在式①两边左乘A
k-1
，得 λ
1
A
k-1
α+λ
2
A
k
α+λ
3
A
k+1
α+…+λ
k
A
2(k-1)
α=0． 因A
k
α=0，上式从第2项起各项皆为零，因而有λ
1
A
k-1
α=0．而A
k-1
α≠0，故λ
1
=0． 将λ
1
=0代入式①，得到 λ
2
Aα+λ
3
A
2
α+…+λ
k
A
k-1
α=0． ② 同法用A
k-2
左乘式②，由A
k
α=0可推得λ
2
A
k-1
α=0，而A
k-1
α≠0，故λ
2
=0． 以此类推，易证得λ
3
=λ
4
…=λ
k
=0，因此向量组α，Aα，A
2
α，…，A
k
α线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9YV4777K
0
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