已知A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，如AB＝C，且r(C)＝m，证明A的行向量线性无关．

admin2016-10-21 98

问题已知A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，如AB＝C，且r(C)＝m，证明A的行向量线性无关．

选项

答案对矩阵A按行分块，记A＝[*]，那么A^T＝(α₁^T，α₂^T，…，α_m^T)．若k₁α₁^T＋k₂α₂^T＋…＋k_mα_m^T＝0，即(α₁^T，α₂^T，…，α_m^T)[*]＝0，即A^T[*]＝0，那么B^TA^T[*]＝0．于是C^T[*]＝0．因为C是m×P矩阵，那么C^T是p×m矩阵．由于r(C^T)＝r(C)＝m，所以齐次方程组C^Tχ＝0只有零解．因此k₁＝0，k₂＝0，…，k_m＝0．故α₁，α₂，…，α_m线性无关．

解析

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