已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.

admin2016-10-21  32

问题 已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.

选项

答案对矩阵A按行分块,记A=[*],那么AT=(α1T,α2T,…,αmT). 若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0,即(α1T,α2T,…,αmT)[*]=0,即AT[*]=0,那么BTAT[*]=0. 于是CT[*]=0. 因为C是m×P矩阵,那么CT是p×m矩阵.由于r(CT)=r(C)=m,所以齐次方程组CTχ=0只有零解.因此k1=0,k2=0,…,km=0. 故α1,α2,…,αm线性无关.

解析
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