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已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.
已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.
admin
2016-10-21
32
问题
已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.
选项
答案
对矩阵A按行分块,记A=[*],那么A
T
=(α
1
T
,α
2
T
,…,α
m
T
). 若k
1
α
1
T
+k
2
α
2
T
+…+k
m
α
m
T
=0,即(α
1
T
,α
2
T
,…,α
m
T
)[*]=0,即A
T
[*]=0,那么B
T
A
T
[*]=0. 于是C
T
[*]=0. 因为C是m×P矩阵,那么C
T
是p×m矩阵.由于r(C
T
)=r(C)=m,所以齐次方程组C
T
χ=0只有零解.因此k
1
=0,k
2
=0,…,k
m
=0. 故α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fWt4777K
0
考研数学二
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