对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a] 求出使g(x)取最小值的x值。

admin2022-10-08 79

问题对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数
g(x)=∫_-a^a|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a]

求出使g(x)取最小值的x值。

选项

答案g’(x)=0，则 ∫_-a^xf(t)dt+∫_a^xf(t)dt=0 设t=－u,dt=－du,并注意到f(－t)=f(t),有 ∫_-a^xf(t)dt=－∫_a^xf(－u)du=∫_-x^af(－t)dt=∫_-x^af(t)dt 因而 ∫_-a^xf(t)dt+∫_a^xf(t)dt=∫_-x^af(t)dt+∫_a^xf(t)dt=∫_-x^xf(t)dt=0 即2∫₀^xf(t)dt=0 又因f(t)＞0,故x=0,由①式可得，g"(x)|_x=0=2f(x)|_x=0＞0,故 g(0)=∫_-a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt 为最小值。

解析

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