2. 考研
  3. 对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a] 求出使g(x)取最小值的x值。

对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a] 求出使g(x)取最小值的x值。

admin2022-10-08  46
问题 对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数
g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a]

求出使g(x)取最小值的x值。
选项
答案g’(x)=0，则 ∫-axf(t)dt+∫axf(t)dt=0 设t=－u,dt=－du,并注意到f(－t)=f(t),有 ∫-axf(t)dt=－∫axf(－u)du=∫-xaf(－t)dt=∫-xaf(t)dt 因而 ∫-axf(t)dt+∫axf(t)dt=∫-xaf(t)dt+∫axf(t)dt=∫-xxf(t)dt=0 即2∫0xf(t)dt=0 又因f(t)＞0,故x=0,由①式可得，g"(x)|x=0=2f(x)|x=0＞0,故 g(0)=∫-aa|t|f(t)dt=2∫0atf(t)dt 为最小值。
解析
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考研数学三

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