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设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1,α2,α3. (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)=2; (Ⅱ)求常数a,b的值及通解.
设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1,α2,α3. (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)=2; (Ⅱ)求常数a,b的值及通解.
admin
2017-03-06
53
问题
设非齐次线性方程组
有三个线性无关解α
1
,α
2
,α
3
.
(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)=2;
(Ⅱ)求常数a,b的值及通解.
选项
答案
(Ⅰ)令r(A)=r,因为系数矩阵至少有两行不成比例,所以r(A)≥2. α
1
-α
2
,α
1
-α
3
为对应的齐次线性方程组的两个解. 令k
1
(α
1
-α
2
)+k
2
(α
1
-α
3
)=0,即(k
1
+k
2
)α
1
-k
1
α
2
-k
2
α
3
=0. 因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以k
1
=k
2
=0,即α
1
-α
2
,α
1
-α
3
线性无关,于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量,即4-r≥2或r≤2,故r(A)=2. [*] 因为r(A)=r([*])=2,所以 [*] 解得a=2,b=-3,于是 [*] 通解为X=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fabD777K
0
考研数学二
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