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  3. 已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，。 其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，。 其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

admin2017-01-21  79
问题 已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，。
其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
选项
答案将二重积分 [*] 转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫01xyfxy"（x，y）dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫01xyfxy"（x，y）dx=y∫01xdfxy’（x，y） =∫01xyfy’（x，y）|01一∫01yfy’（x，y） dx =yfy’（1，y）—∫01yfy’（x，y）dx 由f（1，y）=f（x，1）=0易知，fy’（1，y）=，fy’（x，1）=0。所以 ∫01xyfxy"（x，y）dx=一yfy’（x，y）dx 因此[*]xyfxy"（x，y）dxdy=∫01dy∫01xyfxy"（x，y）dx=—∫01dy∫01yfy’ （x，y）dx， 对该积分交换积分次序可得， —∫01dy∫01yfy—（x，y）dx=—∫01 dx∫01yfy’—（x，y）dy 再考虑积分∫01yfy’（x，y）dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫01yfy’（x，y）dy=∫01ydf（x，y） =yf（x，y） |01一∫01f（x，y）dy =—∫01f（x，y）dy， [*]
解析
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考研数学三

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