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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,。 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,。 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
admin
2017-01-21
56
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
。
其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
选项
答案
将二重积分 [*] 转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫
0
1
xyf
xy
"
(x,y)dx,注意这里把变量y看作常数,故有 ∫
0
1
xyf
xy
"
(x,y)dx=y∫
0
1
xdf
xy
’
(x,y) =∫
0
1
xyf
y
’
(x,y)|
0
1
一∫
0
1
yf
y
’
(x,y) dx =yf
y
’
(1,y)—∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx 由f(1,y)=f(x,1)=0易知,f
y
’
(1,y)=,f
y
’
(x,1)=0。所以 ∫
0
1
xyf
xy
"
(x,y)dx=一yf
y
’
(x,y)dx 因此[*]xyf
xy
"
(x,y)dxdy=∫
0
1
dy∫
0
1
xyf
xy
"
(x,y)dx=—∫
0
1
dy∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得, —∫
0
1
dy∫
0
1
yfy—(x,y)dx=—∫
0
1
dx∫
0
1
yf
y
’
—(x,y)dy 再考虑积分∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dy,注意这里把变量x看作常数,故有 ∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dy=∫
0
1
ydf(x,y) =yf(x,y) |
0
1
一∫
0
1
f(x,y)dy =—∫
0
1
f(x,y)dy, [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fnH4777K
0
考研数学三
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