设A为3阶矩阵，A2－A－2E＝0且｜A｜＝2，将A的第1列的2倍加到第3列，再将A的第3行的－2倍加到第1行得B，则｜B＋3E｜＝( )．

admin2021-03-16 31

问题设A为3阶矩阵，A²－A－2E＝0且｜A｜＝2，将A的第1列的2倍加到第3列，再将A的第3行的－2倍加到第1行得B，则｜B＋3E｜＝( )．

选项 A、20
B、－20
C、6
D、50

答案A

解析令AX＝λX(X≠0)，
由(A²－A－2E)X＝(λ²－λ－2)X＝0得λ²－λ－2＝0，
解得λ＝－1或λ＝2；
由｜A｜＝2得A的特征值为λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝2．
令P₁＝

，P₂＝

，则P₁^－1＝P₂且B＝P₂AP₁，
故｜B＋3E｜＝｜P₁^－1AP₁＋3P₁^－1P₁｜＝｜A＋3E｜＝2×2×5＝20，应选A

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